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［2019年一模］已知函数f(x)=－x^2+mx+1，g(x)=2sin(ωx+π/6).
⑴若函数y=f(x)+2x为偶函数，求实数m的值；
⑵若ω>0，g(x)≤g(2π/3)，且g(x)在［0，π/2］上是单调函数，求实数ω的值；
⑶若ω=1，且当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)，求实数m的取值范围。
该题是一个三角函数的大题，分为三个小题：
第一问比较简单，只需要根据偶函数的定义即可解决；
第二问存在一个要理解的点，可以简化运算的过程——这个需要我们注意！
第三问比较有难度的题，将集合中的语句融合在函数恒成立的问题之中，可以说比较新颖的题型，然而如果不理解该语句的转化，这道题是做不出来的。
那该语句“当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)”怎么理解呢？
在集合当中，我们知道当x∈［1,2］，则x一定属于［1,3］，则［1,2］一定是［1,3］的 子集！
所以上述的问题有二舅转化为：
函数f(x)在区间［1,2］上的值域是函数g(x)在［0，π］上值域的子集！
下面我们一起来看看该题的解法。
第一问是求当函数y=f(x)+2x是偶函数时m的值。
这里只需要借助偶函数的性质即可求解。
因为函数f(x)=－x^2+mx+1，则y=f(x)+2x=－x^2+mx+1+2x=－x^2+(m+2)x+1.
因为函数y=f(x)+2x是偶函数，则有m+2=0，即m=－2.
第二问是求ω的值。
第一步，根据三角函数的性质得出ω的等式。
根据三角函数的性质，则有g(x)=2sin(ωx+π/6)≤2；
又因为g(x)≤g(2π/3)，则有g(2π/3)=2，即2sin(2πω/3+π/6)=2.
即2πω/3+π/6=π/2+2kπ，k∈Z.
解得到ω=1/2+3k，k∈Z.
第二步，根据三角函数的单调性的性质得出ω的范围。
因为g(x)在［0，π/2］上是单调函数，则有π/ω≥π/2.
注：对于任何的三角函数的单调区间都是半个周期，所以这里区间［0，π/2］应该在单调区间的这个半个周期区间 上，即是单调区间的子集，所以π/2≤π/ω。
解得到ω≤2.
又因为ω>0，所以ω的范围0<ω≤2.
注：这里也可以根据g(x)在区间［0，π/2］是单调函数，来分别讨论［0，π/2］在函数g(x)的单增区间上和单减区间上。
——不过这样做很是繁琐，以第二步确定ω的范围的方法比较简单，但是需要理解！
第三步，得出ω的值。
当k=0时，则有ω=1/2，1/2在ω的范围内，符合题意；
当k=1时，则有ω=7/2，7/2不在ω范围内，不符合题意；
当k=－1时，则有ω=－5/2，－5/2不在ω范围内，不符合题意。
所以此时ω的值为1/2.
第三问是求m的取值范围。
这里需要将“当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)”转化成“函数f(x)在区间［1,2］上所有的值域的集合是函数g(x)在区间［0,π］上所有值域集合的子集”。
通过这一转化得出m的取值范围。
具体做法：
第一步，得出g(x)的值域。
因为ω=1，则有g(x)=2sin(x+π/6)。
因为x2∈［0,π］，根据正弦函数图像，则函数g(x2)值域范围为［－1，2］。
第二步，将“当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)”一步转化。
由第一步可知，当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)就可以转化为
当函数f(x)在区间［1,2］时，则有－1≤f(x)≤2恒成立，求m的取值范围？
注：这里是子集，所以可以取等号！
第三步，根据二次函数的性质得出m的范围。
因为函数f(x)=－x^2+mx+1，且开口向下，对称轴x=m/2不确定，所以需要分布讨论说明情况。
当m/2≤1时，即m≤2，则函数f(x)在区间［1,2］上满足f(x)min=f(2)=2m－3，f(x)max=f(1)=m。
因为函数f(x)在满足［－1,2］上恒成立，则有2m－3≥－1，m≤2，解得到1≤m≤2；
当1 当m/2>2，即m>4,时，函数f(x)在区间［1,2］上满足f(x)max=f(2)=2m－3，f(x)min=f(1)=m，此时也无解。 综上所述，实数m的取值范围为［1,2］。 上述内容需要重点掌握的是： 第一，对函数g(x)在区间［0，π/2］上是单调函数直接可以写成π/ω≥π/2的理解； 第二，就是将第三问中“当x1∈［1,2］时，总有x2∈［0,π］，使得g(x2)=f(x1)”语句的转化； 第三，就是对二次函数对称轴不确定时的讨论，注意对称轴三种位置的说明。 相关文章： 怎样将2√3cosB+10sinB化成一个三角函数？这类题的解法——在这 高中：正弦函数中经常考的重要的知识点：四个模块的内容，须知 知函数f(x)是偶函数则f(-ln3)和f(2^m)大小？统一战线是解题关键 向量m=(c－a,sinB),n=(b－a,sinA+sinC)求sinA？四个常用重要知识点 高中：如何根据f＇(x)>m>1去构建函数？知道这些瞬间学会构建函数 想了解更多精彩内容，快来关注玉w头说教育 #高中数学#
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